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§2.1
映射
教学目标

1.使学生了解映射的概念、表示方法.
2.使学生了解象、原象的概念.
3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念.
4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。
教学重点                 
映射、一一映射的概念.
教学难点                 
映射、一一映射的概念.
教学方法                 
讲授法.
教具准备               
幻灯片4张：http://www.fjxcw.com
第一张：课本P47图2—1中四个对应图（记作A）。
第二张：初中学过的对应的例子（记作B）。
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应；
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。
第三张：判断下面的对应是否为映射（记作C）
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应，这个对应是否为集合A到集合B的映射？为什么？
（2）设A=N+，B={0，1}。集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数和集合B中的元素对应”，这个对应是否为集合A到集合B的映射？为什么？
第四张：课本P48图2—2。（记作D）。
教学过程               
（I）复习回顾
师：前面一章，我们学习了元素与集合之间的关系        “∈”、“∉”，集合与集合之间的关系

“⊆”、“⊂≠ ”“⊈”。请同学们回忆一下“∈”、“∉”符号的哪边是元素？
A⊆B、A⊂≠ B、A⊈B的含义是什么？
生：（略）
师：在初中我们学过一些对应的例子，如（打出幻灯片B，师生共同看例子）。这一节我们来学习一种特殊的对应         映射（导入课题并板书）。
（II）讲授新课
先看两个集合A、B的元素之间的一些对应的例子（打出幻灯片A），为简明起见，这里的A、B都是有限集合。
（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）
师：这四个对应分别是怎样的对应？
生：一对多、一对一、多对一、一对一。
师：这四个对应的共同特点是什么？
生：对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则ƒ，在集合B中都有确定的元素和它对应。
师：观察图2、3、4，想一想这三个对应有什么共同特点？
生：这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则ƒ，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。
(上面的问题，学生不可能回答得确切、准确，老师要抓住时机予以引导。)
师：一般地，设A、B是两个集合。如果按照某种对应法则ƒ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f：A→B
注意：（1）符号“f：A→B”表示A到B的映射；
（2）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则；
（3）集合的顺序性：A→B与B→A是不同的：
（4）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行）。箭头集合中元素的唯一性（多一个也不行）。
（再回到图：幻灯片A）
师：根据映射的定义，请指出哪个对应是A到B的映射？
生：（2）、（3）、（4）三个对应都是A到B的映射，（1）的对应不是A到B的映射。
师：判断下面的对应是否为映射。
（指出幻灯片C）（师生一块讨论作答）
师：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。
（再回到图，幻灯片A），结合例子巩固象与原象的概念。
注意：给定映射f：A→B。则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。
§2.1.2
一一映射
（打出幻灯片D）
师：图中所示的三个对应是不是映射？
生：是
师：图中的（1）、（2）所示的映射有什么特点？
生：有两个特点：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象；（2）集合B中的每一个元素都有原象。
师：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
（再回到图：幻灯片D）
师：分析图中（2）、（3）是否为集合A到集合B的一一映射？为什么？
生：（略）
师：注意：
（1）一一映射是一种特殊的映射。（A到B是映射，B到A也是映射，或从一一映定义解释。）
（2）在映f：A→B中，象的集合C≠BJF ，映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要条件。 （想一想为什么不充分？）（因为映射f：A→B未指出对于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：A→B可能是多对一的情形。）
（再回到图：幻灯片A）想一想，图中的（2）、（3）、（4）的映射是不是A到B上的一一映射？
（III）课堂练习：课本P49练习1—4。
（IV）课时小结http://www.fjxcw.com
本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注意的问题（前面所述）指出：映射是一种特殊的对应：多对一、一对一；一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。
（V）课后作业
一、课本P49，习题2.1
1—4。
二、预习：课本P50—P54例2，预习提纲：
1.函数的定义是什么？
2.函数的定义有几个要素？各是什么？
3.函数是一种特殊的映射，特殊在哪里？
4.函数的表示法有几种？各有什么优点？
5.区间是怎样规定的？
6.函数的定义域是怎样确定的？
板书设计

第二章 函数 一、映射与函数 §2.1. 映射 §2.1.1 映射 §2.2.2 一一映射 定义： 定义： 注意： 注意： 象与原象的概念 小结：

教学后记



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教学目标

1.使学生了解反函数的概念；
2.使学生会求一些简单函数的反函数；
3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点                 
1.反函数的概念；
2.反函数的求法。
教学难点                 
反函数的概念。
教学方法                 
师生共同讨论
教具装备                 
幻灯片2张
第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；
第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程               
（I）讲授新课
（检查预习情况）http://www.fjxcw.com
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1
反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？
生：（略）
（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：
（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）；
（2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？
生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）
在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）
由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？http://www.fjxcw.com
生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：
（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；
（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
（3）指出反函数的定义域。
下面请同学自看例1
（II）课堂练习
课本P68练习1、2、3、4。
（III）课时小结
本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。
（IV）课后作业http://www.fjxcw.com
一、课本P69习题2.4
1、2。
二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。

§2.4.2
互为反函数的函数图象间的关系
教学目标

1.使学生了解互为反函数的函数图象间的关系
2.通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索、猜想、论证的思维习惯。
教学重点                 
互为反函数的函数图象间的关系。
教学方法                 
学生自学
教学过程               
（I）复习回顾
师：请同学们回忆一下反函数的定义、反函数的求法。
生：（略）
师：这节课我们来研究互为反函数的函数图象间的关系（板书课题）。
（II）讲授新课
师：同学们对这个内容已经进行了预习，并且亲自动手做函数的图象，能够得出什么结论呢？
生：（学生作答，教师板书）函数y= f (x)的图象与它的反函数y= f –1(x)的图象关于直线y=x对称。
师：有没有其它不同意见或者感到困惑的问题呢？
（结合学生的回答，指出注意的问题。）
注意：（1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，未经过严格的证明。为了不增加难度，现在不作证明，以后同学会自己证明的；
（2）这一结论是在同一坐标系下，且横轴（x）与纵轴（y轴）长度单位一致的情况下得出的；http://www.fjxcw.com
（3）函数y= f (x)与y= f –1(x)的图象关于直线y=x对称，而不是函数y= f (x)与x= f –1(y)的图象关于直线y=x对称；
（4）函数y= f (x)和函数x= f –1(y)图象是同一个图象。
（III）课堂练习
课本P68练习5、6、7。
（IV）课时小结
本节课我们讨论了互为反函数的函数图象间的关系——关于直线y=x对称。反过来，如果两个函数的图象关于直y=x对称，那么这两个函数互为反函数。
（VI）课后作业
一、课本P69习题2.4
3、4、5、6。
二、预习：指数中§2.5.1根式。预习提纲：
1.n次方根的意义，表示方法。http://www.fjxcw.com
2.根式的意义。


板书设计

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